szit

Ez az oldal csak olvasható. Megtekintheted a forrását, de nem változtathatod meg. Ha úgy gondolod, hogy ez helytelen, kérdezd az Adminisztrátorokat!
[[oktatas:programozás:algoritmusok|< Algoritmusok]]
====== Műveletek mátrixokkal ======

  * **Szerző:** Sallai András
  * Copyright (c) 2014, Sallai András
  * Licenc: [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/|CC BY-SA 4.0]]
  * Web: https://szit.hu

===== A mátrixokról =====
A mátrixok tulajdonképpen számok téglalap alakú tömbjei.
A mátrixokkal való műveletvégzés a tudományos számítások alapjai. 

===== Fogalmak =====
==== Meghatározás ====

Számok táblázatos formában, amelynek n darab sora és m darab oszlopa van.


==== Példák ====



<m>A = delim{[}{  matrix{2}{2} { 2 3 5 1 }  }{]}</m>

<m>B = delim{[}{  matrix{3}{3} { 2 4 1  2 1 0  {-2} 2 1 }  }{]}</m>


<m>C = delim{[}{  matrix{4}{4} { 2 4 1 {-1}  2 1 0 4  {-2} 2 1 5  3 1 0 2 }  }{]}</m>

3x4 mátrix:

<m>D = delim{[}{  matrix{3}{4} { 2 4 1 {-1}  2 1 0 4  {-2} 2 1 5 }  }{]}</m>

Szögletes zárójelek helyett lehet szimpla zárójel is.

<m>D = (  matrix{3}{4} { 2 4 1 {-1}  2 1 0 4  {-2} 2 1 5 } )</m>







==== Mátrix indexekkel ====

A mátrixban minden elemre tudunk hivatkozni az indexük alapján. Az első index a sor jelöli, a második az oszlopot.

<m>delim{[}{  matrix{3}{3} {2_{11} 1_{12} 3_{13} 2_{21} 1_{22} 3_{23} 0_{31} 1_{32} 2_{33}}  }{]}</m>



A <m>a_{13}</m> azt jelenti, az első sor, harmadik eleme.

Ha általánosan valamelyik elemre hivatkozunk akkor szokásos forma: <m>a_{ij}</m>.
Ahol i sor, j az oszlop.
==== Főátló ====

A főátlót azok az elem alkotják, amelyek sor- és oszlopindexei azonosak.

<m>delim{[}{  matrix{3}{3} { 8_{11} {-2_{12}} 2_{13} 3_{21} 5_{22} 2_{23} 0_{31} 0_{32} 3_{33}}  }{]}</m>

A fenti mátrixban főátlót a 8 5 és 3-as értékek alkotják, amelyeknek az indexe rendre: 11, 22, 33.

===== Determináns =====
==== A determinánsról ====

Minden mátrixhoz hozzárendelhető egy szám, amelyet determinánsnak nevezünk. 

Ha a determináns 0, akkor szinguláris mátrixról beszélünk.

Ha determináns nem 0, akkor reguláris mátrixról beszélünk.
==== 2x2-s mátrix ====

A determinánst számítása 2x2 mátrixban:
  * veszem a fő átló elemeinek szorzatát
  * veszem a másik átló elemeinek szorzatát
  * a két szorzat különbsége a determináns



A determináns jelölése: 
  |A|
vagy:
  det(A)



Legyen egy 2x2-es mátrix:

<m>delim{|} { matrix{2}{2} {2 1 3 4} } {|} = 2*4 - 3*1 = 5</m>


==== Kifejtési tétel ====

Ha kvadratikus mátrix mérete nagyobb mint 2, a determináns számítása másként történik.

A kifejtéshez ki kell választani egy sort vagy egy oszlopot. Bármely sor vagy 
oszlop alapján meghatározható a determináns. 


Legyen a példa kedvéért a következő mátrix:

<m>( matrix{3}{3} { 2 3 0 4 5 1 6 8 9} )</m>


A bal felső sarkot jelöljük meg "+" jellel. 
Ez után sakktábla-szerűen a többit is:

{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrix_det_00.png|}}

Vegyük a kifejtéshez az első oszlopot: 2, 4, 6.

{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrix_det_01.png|}}



Jelöljük meg közülük az elsőt, azaz a 2-t. A 2-vel 
azonos sorban és oszlopban lévő elemekkel nem 
foglalkozunk. Így marad egy 2x2-es mátrix:


{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrix_det_02.png|}}


<m>matrix{2}{2} { 5 1 8 9}</m>


Ennek kiszámítjuk a determinánsát a 2x2 nagyságú mátrix esetén
tanultak alapján. 


<m>delim{|} { matrix{2}{2} { 5 1 8 9 } } {|} = 5 * 9 - 8 * 1 = 37</m>

Írjuk fel a fentebb kiválasztott 2-es számot és ezt a 37-es eredményt szorzatként:

  2 * 37


Vegyük az oszlop következő elemét, ami 4. A 4-gyel azonos sorokkal és oszlopokkal 
most nem foglalkozunk. A megmaradt elemek egy megint egy 2x2-es mátrixot alkotnak,
aminek kiszámítjuk a determinánsát. 

{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrix_det_03.png|}}


<m>delim{|} { matrix{2}{2} { 3 0 8 9 } } {|} = 3 * 9 - 0 = 27</m>

A 2 * 37 szorzathoz hozzáadjuk az újabbat:

<m>(2 * 37) + (-4 * 27)</m>

A táblázatból látjuk, hogy a 4-es érték negatívan számít.

Vegyük az oszlop utolsó elemét, amely a 6. A hozzátartozó sor és oszlop
elemeivel itt sem foglalkozunk:

{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrix_det_04.png|}}

Kiszámítjuk a megmaradt 2x2-es mátrix determinánsát:


<m>delim{|} { matrix{2}{2} { 3 0 5 1 } } {|} = 3 * 1 - 0 = 3</m>

A fenti szorzatunkhoz hozzáadjuk a 6 * 3 szorzatot. A 6 itt is az oszlop
utolsó eleme, a 27 pedig az utóbbi 2x2-es mátrix determinánsa.

A szorzatunk végül:
<m>(2 * 37) + (4 * 27) + (6 * 3)</m>
Kiszámítva megkapjuk a determinánst:

<m>(2 * 37) + (-4 * 27) + (6 * 3) = -16</m>

A 3x3-as mátrixunk determináns számítás eredménye ezek után így írható fel:

<m>delim{|}{ matrix{3}{3} { 2 3 0 4 5 1 6 8 9} } {|} = -16</m>

==== 4x4-s mátrix ====

A 4x4-s mátrixot úgy kezdjük mint a 3x3 méret esetén, de most négy oszloppal és sorral
számolok. Az elsőként kiválasztott elem esetén, a kiválasztott elemhez tartozó
sorok és oszlopokon kívül eső rész nem 2x2-s mátrix, helyette 3x3. A 3x3-as
mátrix determinánsát a kifejtési tétellel számoljuk, mint azt az előbb láttuk.




{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrix_det_05.png|}}


Így járok el a többi sor és oszlop esetén is.

==== Java megvalósítás ====

<code java>
//Determináns számítása:
static double det(double[][] a, int n) {
	double d = 1;
	for(int k=0; k<n; k++){
		for(int i=k+1; i<n; i++) {
			double g = a[i][k] / a[k][k];
			for(int j=k+1; j<n; j++) {
				a[i][j] = a[i][j] - g * a[k][j];
			}
		}
		d = d * a[k][k];
	}
	return d;
}
</code>

===== Mátrix típusok =====

==== Skalármátrix ====

1x1 dimenziós mátrix. Valójában egy szimpla szám.

<m>delim{[}{  matrix{1}{1} {5}  }{]}</m>



==== Oszlopmátrix ====

<m>delim{[}{    matrix{4}{1} { a_{11} vdots vdots  a_{n1}    }    }{]}</m>


==== Sormátrix ====

<m>delim{[}{  matrix{1}{4} {  a_11  a_12 cdots a_1m    }  }{]}</m>


==== Négyzetes mátrix ====
Másként kvadratikus mátrix. A mátrix //n x n// elemből áll.

<m>delim{[}{  matrix{4}{4} {  a_11  a_12 cdots a_{1n}      vdots ddots { } vdots   vdots { } ddots vdots    a_{n1}  cdots cdots a_{nn}   }  }{]}</m>


==== Nullmátrix ====

A nullmátrix minden eleme 0.

<m>delim{[}{  matrix{3}{3} {0 0 0 0 0 0 0 0 0}  }{]}</m>

==== Egységmátrix ====

A főátlóban 1-es értékek vannak, a többi 0.

<m>delim{[}{  matrix{4}{4} {1 0 0 0  0 1 0 0  0 0 1 0  0 0 0 1}  }{]}</m>


==== Felső háromszögmátrix ====

Az átló alatt 0 értékek.

<m>delim{[}{  matrix{4}{4} {4 2 1 2  0 3 3 2  0 0 1 5  0 0 0 2}  }{]}</m>


==== Alsó háromszögmátrix ====

Az átló fölött nulla értékek.

<m>delim{[}{  matrix{4}{4} {2 0 0 0   3 4 0 0  2 1 3 0  4 2 1 3}  }{]}</m>

==== Diagonális mátrix ====

A főátlón kívül minden elem 0;

<m>delim{[}{  matrix{4}{4} {2 0 0 0   0 4 0 0  0 0 3 0  0 0 0 3}  }{]}</m>
===== Mátrix transzponáltja =====
==== Transzponálás ====

A transzponálás a sorok és oszlopok felcserélése.


{{http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Matrix_transpose.gif}}



<m>
(matrix {2}{3}{
1 2 3
4 5 6
})
=
(matrix {3}{2}{
1 4
2 5
3 6
})^T




</m>


^  a mátrix (kiindulási táblázat)  ^^^^
|  5  |  2  |  3  |  4  |
|  0  |  1  |  4  |  5  |
|  3  |  2  |  0  |  6  |

A transzponáltja:

^  b mátrix (a transzponált)  ^^^
|  5  |  0  |  3  |
|  2  |  1  |  2  |
|  3  |  4  |  0  |
|  4  |  5  |  6  |

==== Java megvalósítás ====

<code java Program01.java>
class Program01 {
	static int[][] a = { 
		{5, 2, 3, 4},
		{0, 1, 4, 5},
		{3, 2, 0, 6}};
	static int[][] b = new int[4][3];
	
	public static void transzponal() {
		for(int i=0; i<3; i++) {
			for(int j=0; j<4; j++) {
				b[j][i] = a[i][j];
			}
		}	
	}
	public static void kiir(int sor, int oszlop, int[][] matrix) {
		for(int i=0; i<sor; i++) {
			for(int j=0; j<oszlop; j++) {
				System.out.print(matrix[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();			
		}
	}
	public static void main(String[] args) {
		kiir(3, 4, a);
		System.out.println("------------");
		transzponal();
		kiir(4, 3, b);
	}
}
</code>

Eredmény:
<code>
5 2 3 4 
0 1 4 5 
3 2 0 6 
------------
5 0 3 
2 1 2 
3 4 0 
4 5 6 
</code>

===== Mátrix szorzata =====

==== Szorzás ====

Meg kell vizsgálnunk a szorzás elvégezhető-e. 

A következő nagyságú mátrixok szorozhatók:
  n * k és k * m
Ahol n*k az első mátrix méretei, és k*m a másik mátrix méretei. 
A két mátrix akkor szorozható, ha k méreteik megegyeznek.
Az összeszorzott mátrix mérete: n * m lesz.
  n * k és k * m eredmény: n * m


Mátrix műveletek

  * Nem kommutatív a szorzásra nézve-> A * B != B * A
  * Asszociatív -> (A * B) * C = A * (B * C)


==== Mátrixok szorzása ====


{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrixszorzasa.png?300|}}


^  a mátrix  ^^
|  1  |  2  |
|  3  |  4  |


^  b mátrix  ^^^
|  10  |  20  |  30  |
|  40  |  50  |  60  |


^  a * b eredménye  ^^^
|  90  |  120  |  150  |
|  190  |  260  |  330  |

==== Megvalósítás Java nyelven ====


<code java Program01.java>
class Program01 {
	static int[][] a = { 
		{1, 2},
		{3, 4}
		};
	static int[][] b = { 
		{10, 20, 30},
		{40, 50, 60}		
		};
	static int[][] c = new int[2][3];

	public static void szoroz() {
		int m = 2, n = 2, k = 3; //m-oszlop, n-sor (k-oszlop)
		int sum=0;
		
		for (int i = 0 ; i < n ; i++ ) {
			for (int j = 0 ; j < k ; j++ ) {
				for (int p = 0 ; p < m ; p++ ) {
					sum = sum + a[i][p] * b[p][j];
				}
				c[i][j] = sum;
				sum = 0;
			}
		}	
	}
	public static void kiir(int sor, int oszlop, int[][] matrix) {
		for(int i=0; i<sor; i++) {
			for(int j=0; j<oszlop; j++) {
				System.out.print(matrix[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();			
		}
	}
	public static void main(String[] args) {
		kiir(2, 2, a);		System.out.println("------------");
		kiir(2, 3, b);		System.out.println("------------");
		szoroz();
		kiir(2, 3, c);
	}
}
</code>

Eredmény:
<code>
1 2 
3 4 
------------
10 20 30 
40 50 60 
------------
90 120 150 
190 260 330
</code>
===== Mátrix inverze =====

==== Az invertálásról ====

Keressük azt a mátrixot, amelyet megszorozva az eredeti mátrixot, az egységmátrixot kapjuk.


{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrixinvertalas.png?300|}}

Az eredmények közönséges törtként:

{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrixinvertalaseredmennyel.png?300|}}

Az eredmények tizedestörtként:

{{:oktatas:programozás:algoritmusok:matrixinvertalaseredmennyel_2.png?300|}}


==== Invertálás Gauss–Jordan-eliminációval ====
Legyen A mátrix. Keressük az inverzét, amit így jelölünk: A<sup>-1</sup>

<m>A = (matrix{2}{2} { 2 1  3 4  })</m>

Egy mátrix nem invertálható ha a determinánsa 0.

Ezért számítsuk ki a determinánst:
  det A = 2 * 4 - 3 * 1 = 5 ≠ 0

Nem nulla, így a mátrix invertálható.

Leírjuk az A mátrixot és mellé az E egységmátrixot:

[A|E]


<m>( matrix{2}{4} { 2 1 1 0  3 4 0 1 } )</m>

Osztjuk az első sort 2-vel:

<m>(matrix{2}{4} {
1 		{1/2}  		{1/2} 		0
3 		4			0 			1 
})</m>




Hozzáadjuk a második sorhoz az első -3 szorosát:


<m>(matrix{2}{4} {
1		{1/2}		{1/2}		0   
0		{5/2}		{-3/2}		 1
})</m>


Osztjuk a második sort 5/2-vel:

<m>(matrix{2}{4} {
1		{1/2}		{1/2}		0   
0		1			{-3/5}		{2/5} 
})</m>



Hozzáadjuk az első sorhoz, második sor -1/2 szeresét:

<m>(matrix{2}{4} {
1		0			{4/5}		{-1/5}
0		1 			{-3/5}		{2/5} 
})</m>

Az eredmény:


A<sup>-1</sup> =
<m>(matrix{2}{2} {
{4/5}		{-1/5}
{-3/5}		{2/5} 
})</m>


==== Java Megvalósítás ====

<code java Program01.java>
import java.util.Scanner; 

class Program01 {
 
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		System.out.println("Mátrix invertálása");
		
		System.out.print("Mátrix mérete: ");
		int size = in.nextInt();
		
		double[][] a = new double[size][size+size];
		
 
		//Az egységmátrix elkészítése
		for (int i = 0; i < size; i++) {
			for (int j = 0; j < size+size; j++) {
				if (j == i + size) {
					a[i][j] = 1;
				} else {
					a[i][j] = 0;
				}
			}
		}
 
		//Mátrix bekérése
		System.out.printf("\nÍrd be a %d X %d mátrixot:\n", size, size);
		for (int i = 0; i < size; i++) {
			for (int j = 0; j < size; j++) {				
				a[i][j] = in.nextDouble();
			}
		}
		
		
		if(det(a, size)==0) {
			System.out.println("Nem invertálható, mert a determinánsa 0");
		}else {		
			inverz(a, size);
			kiir(a, size);
		}
	}

	//Determináns számítása:
	static double det(double[][] a, int n) {
		double d = 1;
		for(int k=0; k<n; k++){
			for(int i=k+1; i<n; i++) {
				double g = a[i][k] / a[k][k];
				for(int j=k+1; j<n; j++) {
					a[i][j] = a[i][j] - g * a[k][j];
				}
			}
			d = d * a[k][k];
		}
		return d;
	}
	
	static void inverz(double[][] a, int size) {
		//Oszloponként változtatok
		for (int i = 0; i < size; i++) {
			reduction(a, size, i, i);
		}		
	}
	
	
	static void kiir(double[][] a, int size) {
		System.out.println("\nInverz mátrix");
		for (int i = 0; i < size; i++) {			
			for (int j = 0; j < size; j++) {
				System.out.printf("%8.2f", a[i][j + size]);
			}
			System.out.println();
		}
		
	}
	
	static void reduction(double a[][], int size, int pivot, int col) {
		double factor = a[pivot][col];

		for (int i = 0; i < 2 * size; i++) {
			a[pivot][i] /= factor;
		}
 
		for (int i = 0; i < size; i++) {
			if (i != pivot) {
				factor = a[i][col];
				for (int j = 0; j < 2 * size; j++) {
					a[i][j] = a[i][j] - a[pivot][j] * factor;
				}
			}
		}
	}
}

</code>

===== Függelék =====

==== Mátrix invertálás példa ====

^  mátrix  ^^^
| 7 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 6 | 4 | 1 |


Gauss-Jordan elimináció
^  Hozzáadjuk az egységmátrixot  ^^^^^^
| 7 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 3 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |


Az első sort osztom 7-tel:
^ 1sor = 1sor/7   ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 0 | 0 |
| 1 | 3 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |


Hozzáadjuk a kettes sorhoz az első sor -1 szeresét:

^  2sor = 1sor * -1 + 2sor  ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 0 | 0 |
| 0 | 20/7 | 13/7 | -1/7 | 1 | 0 |
| 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |

^  3sor = 1sor * -6 + 3sor  ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 0 | 0 |
| 0 | 20/7 | 13/7 | -1/7 | 1 | 0 |
| 0 | 22/7 | 1/7 | -6/7 | 0 | 1 |


^  2sor = 2sor : 20/7  ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 13/20 | -1/20 | 7/20 | 0 |
| 0 | 22/7 | 1/7 | -6/7 | 0 | 1 |


^  3sor = 2sor * -22/7 + 3sor ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 13/20 | -1/20 | 7/20 | 0 |
| 0 | 0 | -19/10 | -7/10 | -11/10 | 1 |

^  3sor = 3sor : -19/10 ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 13/20 | -1/20 | 7/20 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 7/19 | 11/19 | -10/19 |

^  2sor = 3sor * -13/20 + 2sor  ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | -11/38 | -1/38 | 13/38 |
| 0 | 0 | 1 | 7/19 | 11/19 | -10/19 |

^  1sor = 3sor * -1/7 + 1sor  ^^^^^^
| 1 | 1/7 | 0 | 12/133 | -11/133 | 10/133 |
| 0 | 1 | 0 | -11/38 | -1/38 | 13/38 |
| 0 | 0 | 1 | 7/19 | 11/19 | -10/19 |

^  1sor = 2sor * -1/7 + 1sor  ^^^^^^
| 1 | 0 | 0 | 5/38 | -3/38 | 1/38 |
| 0 | 1 | 0 | -11/38 | -1/38 | 13/38 |
| 0 | 0 | 1 | 7/19 | 11/19 | -10/19 |


A mátrix inverze:

^  Eredmény  ^^^
| 5/38 | -3/38 | 1/38 |
| -11/38 | -1/38 | 13/38 |
| 7/19 | 11/19 | -10/19 |

==== Mátrix invertálás példa 2 ====

^  mátrix  ^^
|  1  |  2  |
|  3  |  4  |



Gauss-Jordan elimináció

^  Hozzáadjuk az egységmátrixot  ^^^^
|  1  |  2  |  1  |  0  |
|  3  |  4  |  0  |  1  |


^  2sor = (1sor * -3) + 2sor  ^^^^
|  1  |  2  |  1  |  0  |
|  0  |  -2  |  -3  |  1  |

A második sort osztom -2-vel:

^  2sor = 2sor : -2  ^^^^
|  1  |  2  |  1  |  0  |
|  0  |  1  |  3/2  |  -1/2  |


^  1sor = (2sor * -2) + 1  ^^^^
|  1  |  0  |  -2  |  1  |
|  0  |  1  |  3/2  |  -1/2  |


^  Eredmény  ^^
|  -2  |  1  |
|  3/2  |  -1/2  |

==== Mátrix invertálás példa 3 ====

^  mátrix  ^^
|  5  |  2  |
|  3  |  6  |



Gauss-Jordan elimináció

^  Hozzáadjuk az egységmátrixot  ^^^^
|  5  |  2  |  1  |  0  |
|  3  |  6  |  0  |  1  |


^  1sor = 1sor : 5  ^^^^
|  1  |  2/5  |  1/5  |  0  |
|  3  |  6  |  0  |  1  |


^  2sor = (1sor * -3) + 2sor  ^^^^
|  1  |  2/5  |  1/5  |  0  |
|  0  |  24/5  |  -3/5  |  1  |


^  2sor = 2sor : 24/5  ^^^^
|  1  |  2/5  |  1/5  |  0  |
|  0  |  1  |  -1/8  |  5/24  |


^  1sor = (2sor * -2/5) + 1sor  ^^^^
|  1  |  0  |  1/4  |  -1/12  |
|  0  |  1  |  -1/8  |  5/24  |

^  Eredmény  ^^
|  1/4  |  -1/12  |
|  -1/8  |  5/24  |