szit

Ez az oldal csak olvasható. Megtekintheted a forrását, de nem változtathatod meg. Ha úgy gondolod, hogy ez helytelen, kérdezd az Adminisztrátorokat!
[[oktatas:számítástechnika|< Számítástechnika]]


====== Számábrázolás ======

  * **Szerző:** Sallai András
  * Copyright (c) 2012, Sallai András
  * Szerkesztve: 2012, 2014, 2015, 2017, 2023
  * Licenc: [[https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/|CC BY-SA 4.0]]
  * Web: https://szit.hu

===== Osztályozás =====

A számítógépeken a számokat fixpontos vagy lebegőpontos alakban ábrázoljuk. Volt kísérlet a decimális ábrázolásra is, az végül nem terjed el.

  * Fixpontos
    * előjel nélkül
    * előjeles
      * abszolút értékes
      * kettes komplemens
      * eltolásos (többletes)
  * Lebegőpontos
  * Decimális

===== Fixpontos számábrázolás =====
==== Előjel nélkül ====
Pl.: 6-ot nyolc helyen ábrázolva:
  00000110
Ha nem fér el a szám nyolc helyen túlcsordulás történik. A számok csak nulla vagy pozitívak lehetnek.

==== Előjeles ábrázolás ====
Negatív számok is lehetnek
=== Abszolút értékes ===
Az első bit mindig az előjel. Rendszerint ha a szám negatív az első bit 1-es. Ha null vagy
pozitív szám akkor az első bit 0. Pl. -6 ábrázolása:
  10000110
  
=== Kettes komplemens ===
Veszem a szám kettes komplemensét, így ábrázolom. Pl. -6
  11111010

=== Eltolásos ===
2<sup>n-1</sup>hozzáadok minden számhoz. Az n mutatja meg, hány helyen ábrázolom a számot.
Pl. 8 helyen ábrázolom a 6-ot:

n = 8

2<sup>n-1</sup> 

akkor

2<sup>7</sup> = 128

(-6) + 128 = 122

122 binárisan 
  01111010






===== Lebegőpontos számábrázolás =====


==== Egyszerűen ====

A számot a következő alakban írjuk fel:

<m>m * a^k</m>
Tulajdonképpen a számot hatványkitevős alakban írjuk fel. 

Röviden ennyi. De nézzük részletesen.

Az "m" a mantissza szóból. Az "a" az alap szóból. A "k" kitevő szóból.

A kitevő helyett szoktak még exponenst is használni. 

Angol nyelven a mantissza: mantissa, de szinonimák a significand és a coefficient.

==== Részletesen ====

Matematika óráról tudjuk, hogy 
  1,0000 * 10 = 10,000
Vagyis egyszer tíz az tíz. A szorzás eredménye olyan mintha a bal oldalon álló számnál  a tizedesvesszőt egyel
jobbra mozdítottam volna. Ugyanígy:
  1,0000 * 100 = 100,00
Olyan mintha a szorzás bal oldalán lévő számnál a tizedesvesszőt kettővel jobbra mozdítottam volna. 
  1,0000 * 1000 = 1000,0

Tehát 10 vagy annak valamelyik hatványával való szorzás műveletét elvégezhetjük a tizedes vessző
elmozdításával is.


Most vegyük az utolsó műveletsort. Egyszer ezer az ezer. Ezer felírható tíz és száz
szorzataként is:
  10,000 * 100 = 1000,0
A szorzás jel baloldalán mindössze a tizedes vessző jobbra kellett mozgatni. 
De felírható így is:
  100,00 * 10 = 1000,0
A tizedesvesszőt még egyel jobbra mozgattuk. A következő is ugyanaz:
  1000,0 * 1 = 1000,0

Vegyük észre, hogy a szorzás jel jobboldalán tíz hatványait jelenítjük meg:
  * 1, 10, 100, stb.
mivel:

  * <m>10^0=1</m>
  * <m>10^1=10</m>
  * <m>10^2=100</m>
  * <m>10^3=1000</m>
  * stb. 


Ezek szerint egy számot le tudok írni egy tizedestört és tíz valamelyik hatványával 
többféleképpen is. Vegyük a következő számot most megismert felírási módban:


<m>
3,4 * 10^{1}
</m>

A fenti szám szimplán leírva:

<m>34,0</m>

De ugyanezt jelentik a következő alakok is:
  * <m>340,0 * 10^-1</m>
  * <m>34,0 * 10^0</m>
  * <m>0,340 * 10^2</m>
  * <m>0,0340 * 10^3</m>

Láthatjuk, hogy a vessző ide-oda mozoghat, ha változtatjuk a hatványt. Úgy is mondhatnánk a vessző ide-oda lebeg. Angolszász nyelvterületen a tizedesvessző helyett tizedes pontot használunk. 
Innen ered a számábrázolás neve: Lebegőpontos számábrázolás.

Az eredeti alakban: <m>34,0</m>, a tizedesvesszőt nem tehetjük arrébb, mert akkor
megváltozik a szám értéke. A tizedesvessző helye mindig fix. Ezért ezt fixpontos számábrázolásnak nevezzük.


==== A lebegőpontos számok pontossága ====

Ha valós számokkal dolgozunk a pontosság nem probléma, mivel mondhatjuk végtelen. 
A számítógépeken a memória viszont véges, így el kell döntenünk mekkora pontossággal
dolgozunk. A lebegőpontos számábrázolással kapcsolatos pontosság fogalmát az Intel
vezette be. Az Intel ehhez felfogadta William Morton Kahan matematikust a lebegőpontos
formátum bináris ábrázolásának kidolgozásához.

Háromféle lebegőpontos formátumot vezetett be: 
  * egyszeres - C nyelv float
  * kétszeres - C nyelv double
  * kiterjesztett


=== Egyszeres pontosság ===

32 bites

{{:oktatas:számítástechnika:egyszerespontossag.png|}}

=== Dupla pontosság ===

64 bites

{{:oktatas:számítástechnika:duplapontossag.png|}}

=== Kiterjesztett pontosság ===

{{:oktatas:számítástechnika:kiterjesztettpontossag.png|}}
===== Tudományos alak =====

A tudományos alak másik neve: **exponenciális forma**.

A fenti példákból láthatjuk, hogy a szorzás jobb oldalán a hatványozás alapja állandóan tíz,
mivel tízes számrendszerben számolunk. Vegyük újra az egyik példát, ábrázoljuk a tízet egy
nagy "E" betűvel, de lehet akár kis "e" betű is. Az eredeti szám:

<m>0,340 * 10^2</m>

A szorzásjelet kötelező kitenni, mert nélküle egybeolvad mantissza és a számrendszer alapja.
A karakterisztikát felső indexbe kell írni, ahogy a hatványozásnál ezt szoktuk. 
Ha egy kijelzőn nincs lehetőség a felső index ábrázolására, akkor gond van a megjelenítéssel.


A tíz cseréje egy "E" betűre:

<m>0,340 * E^2</m>

Ekkor elhagyható a szorzás jel és a 2-es felső indexben ábrázolása:

<m>0,340E2</m>

Ekkor megkaptuk a szám tudományos alakját.

A tudományos alak esetén, jelölhetjük a kitevő előjelét például:

<m>0,340E + 2</m>

Természetesen negatív kitevő esetén ez kötelező.


===== Normalizált alak =====

Egyes könyvekben "normált" alak.


Láttuk fentebb, hogy lebegőpontos számábrázolással ugyanazt a számot (34) leírhatjuk több alakban is:
  * <m>0340,0 * 10^-1</m>
  * <m>034,0 * 10^0</m>
  * <m>0,340 * 10^2</m>
  * <m>0,0340 * 10^3</m>

Ha tizedesvessző helyét úgy állítjuk be, hogy mantissza egész része 0 és 1 közötti szám lesz,
akkor normalizált alakról beszélünk. Az előbbi szám esetén ez:

  * <m>0,340 * 10^2</m>


===== Decimális számábrázolás =====
A számot számjegyenként kódolom.

  * BCD kódolás
  * zónázott
  * pakolt

==== BCD kódolás ====

A BCD kódolás esetén a számokat számjegyenként kódoljuk.

==== Zónázott kódolás ====

A számokat számjegyenként külön bájtban tároljuk.
A bájt alsó részében tároljuk a számot, a felső részében
csupa egyesekkel töltjük fel. Hexadecimálisan ez egy F.
A F-et zónajelnek is nevezzük.

==== Pakolt kódolás ====

Hasonló a zónázott kódoláshoz, de a számjegyek kódolását félbájtonként végezzük.


===== Komplemens képzés =====


A komplemensek képzését bináris számokon értelmezzük.

Legyen a példa kedvéért az ötös szám binárisan:
  0101

Ennek egyes komplemense, az ellentétje:
  00000101
  00001010

Az egyes komplemense: 11111010

A kettes komplemenst úgy képezzük, hogy 1-et adunk az előző eredményhez.

Adjunk 11111010-hoz 1-t:

   11111010
  +00000001
  _________
   11111011

Öt kettes komplemense tehát: 11111011.

Hol használjuk ezt? A negatív számok ábrázolásánál ezt a formát használjuk. 
Tehát -5 ábrázoláshoz annak kettes komplemensét használom.

Miért jó ez nekem? Az összeadás könnyebb, ha a negatív számok kettes komplemensben
vannak felírva. Lássunk egy összeadást. Adjuk +5-höz. -1-et.


A mínusz egy:
   00000001
A mínusz egy egyes komplemense:
   11111110
A mínusz egy kettes komplemense:
   11111111

A mínusz egy és az öt összeadása:
    11111111
   +00000101
   _________
   100000100
Az eredményben a baloldali 1-s eltűnik túlcsordulás miatt így marad:
  00000100
Ez pedig pontosan négyet jelent. Az eredmény jó, és egyszerű volt az összeadás.


===== Előjelbit =====

A számítógépek a számábrázolás során a negatív számokat néha egy előjel bittel jelzik.
Ha van egy egy bájt méretű tárolóm, akkor abban 8 bitem van. A biteket jobbról balra
számoljuk.

^ sorszám | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
^ tároló | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |

A nyolcadik bitet használhatjuk az előjel jelzésére. Azt mondjuk, ha nyolcadik bit
1 akkor negatív számról van szó, a nulla akkor pozitív. A legnagyobb ábrázolható
szám így persze csak 7 bites. A fenti tárolóban tehát +5 van.


A következő szám egy negatív számot mutat:

^ sorszám | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
^ tároló | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |1 | 1 |


Mivel a nyolcadik bit 1 értékkel szerepel, tudjuk, hogy negatív számról van szó.


Veszem a számot:
  1111011
Kivonok belőle 1-t:
  1111010
Veszem az ellentétét:
  0000101
És megkaptam a számot. Ez 5, de mivel be volt állítva az előjelbit, tudjuk, hogy -5.



===== Irodalom =====

  * http://www.inf.unideb.hu/~jvegh/public/edu/ASM386/AoAHLA/html/ch04s02.html (2014)